Коста Цонев е роден в София на 3 юни 1929 г., макар във всички документи да е записана рождената дата 10 юни, пише в биографичната му справка, разпространена от БТА. Работи от 14-годишна възраст, когато баща му умира. По-късно го пресъздава художествено в мюзикъла „Баща ми, бояджията“ по сценарий на брат му писателя сатирик Васил Цонев. През 1952 г. завършва Държавното висше театрално училище (дн. НАТФИЗ „Кръстьо Сарафов“) специалност актьорско майсторство в класа на Стефан Сърчаджиев. Изключително влияние му оказват и големите майстори на театъра Кръстьо Сарафов, Константин Кисимов, Георги Стаматов, Марта Попова. През 1952 г. дебютира в ролята на Антон („Младостта на бащите“ – Б. Л. Горбатов) в Народния театър за младежта (дн. Младежки театър „Николай Бинев“), където работи в продължение на 14 години. Изпълнил е общо над 70 роли в киното. Ролята на разузнавача Емил Боев в няколко филма по сценарии на Богомил Райнов му носи огромна популярност: „Господин Никой“ (1969), „Няма нищо по-хубаво от лошото време“ (1971), „Голямата скука“ (1973), „Реквием за една мръсница“ (1976), „Умирай само в краен случай“ (1978), „Тайфуни с нени имена“ (1979). Участвал е и в почти всички телевизионни сериали през миналия век: „На всеки километър“, „Демонът на империята“, „Изгори, за да светиш“, „По дирята на безследно изчезналите“, „Дом за нашите деца“, „Бащи и деца“, „Неизчезващите“ и др. Последният филм с негово участие е „Шантав ден“ от 2004 г. на режисьора Силвия Пешева, в който си партнира с актрисата Весела Казакова. Женен за Анахид Тачева с която имат 2 брака. Има син-телевизионния водещ Димитър Цонев и дъщеря Теодора. Втората му съпруга е Елена Цонева, с която живее 26 години, до последния си дъх. Коста Цонев е брат на известния сатирик Васил Цонев. Има и още един брат – архитекта Иван Цонев (1921 – 1998), емигрант в Австралия. „Коста Цонев е цяла епоха“, каза министър Вежди Рашидов, когато връчи отличието „Златен век“ /2011г/ на съпругата му Ели Цонева. Умира на 25 януари 2012 година в София.